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2016年福建省南平市中考數(shù)學(xué)試卷
2016年福建省南平市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題(共10小題，每小題4分，滿分40分)1.(4分)(2016•南平)﹣3的倒數(shù)是( )
2.(4分)(2016•南平)如圖所示的幾何體的左視圖是( )
3.(4分)(2016•南平)如圖，直線a∥b，直線c與a、b分別交于A、B兩點(diǎn)，若∠1=46°，則∠2=( ) A.44° B.46° C.134° D.54°
4.(4分)(2016•南平)下列事件是必然事件的是( )
A.某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎
B.一組數(shù)據(jù)1，2，4，5的平均數(shù)是4
C.三角形的內(nèi)角和等于180°
D.若a是實(shí)數(shù)，則|a|>0
5.(4分)(2016•南平)2016年歐洲杯足球賽中，某國家足球隊(duì)首發(fā)上場的11名隊(duì)員身高如表：
| 身高（cm） | 176 | 178 | 180 | 182 | 186 | 188 | 192 |
| 人數(shù) | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
A.180，182 B.180，180 C.182，182 D.3，2
6.(4分)(2016•南平)若正六邊形的半徑長為4，則它的邊長等于( )
A.4 B.2 C.2 D.4 7.(4分)(2016•南平)下列運(yùn)算正確的是( )
A.3x+2y=5xy B.(m2)3=m5 C.(a+1)(a﹣1)=a2﹣1 D. =2
8.(4分)(2016•南平)下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是( )
A.x2﹣2x﹣3=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2=1
9.(4分)(2016•南平)閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應(yīng)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20%，設(shè)把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為( )
A.60﹣x=20%(120+x) B.60+x=20%×120
C.180﹣x=20%(60+x) D.60﹣x=20%×120
10.(4分)(2016•南平)如圖，已知直線l：y=2x，分別過x軸上的點(diǎn)A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x軸的直線交l于點(diǎn)B1、B2、…、Bn，將△OA1B1，四邊形A1A2B2B1、…、四邊形An﹣1AnBnBn﹣1的面積依次記為S1、S2、…、Sn，則Sn=( )
A.n2 B.2n+1 C.2n D.2n﹣1
二、填空題(共6小題，每小題4分，滿分24分)
11.(4分)(2016•南平)甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是s =0.2，s =0.5，則設(shè)兩人中成績更穩(wěn)定的是______(填“甲”或“乙”)
12.(4分)(2016•南平)計(jì)算：(2 )2=______.
13.(4分)(2016•南平)分解因式：mn2+2mn+m=______.
14.(4分)(2016•南平)寫出一個y關(guān)于x的二次函數(shù)的解析式，且它的圖象的頂點(diǎn)在y軸上：______.
15.(4分)(2016•南平)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF= AB，點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線與正方形的一組對邊分別交于P、Q兩點(diǎn)，并且滿足PQ=EF，則這樣的直線PQ(不同于EF)有______條.
16.(4分)(2016•南平)如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(不與A、B重合)，將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結(jié)論：
�、貱D=CP=CQ;
�、�∠PCQ的大小不變;
�、邸鱌CQ面積的最小值為 ;
�、墚�(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時，△PDQ是等邊三角形，
其中所有正確結(jié)論的序號是______. 三、解答題(共9小題，滿分86分)
17.(8分)(2016•南平)計(jì)算：(2π)0+|﹣6|﹣ .
18.(8分)(2016•南平)解分式方程： = .
19.(8分)(2016•南平)解不等式組： .
20.(8分)(2016•南平)國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總統(tǒng)方案》，一年過去了，為了了解足球知識的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專題調(diào)查活動，采取隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果劃分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級，并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖)，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)被調(diào)查的學(xué)生共有______人.
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數(shù)為______度;
(3)從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率的是多少?
22.(10分)(2016•南平)如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
(1)求證：OC=AD;
(2)若∠P=50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長(精確到0.1) 23.(10分)(2016•南平)已知正比例函數(shù)y1=ax(a≠0)與反比例函數(shù)y2= (k≠0)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(2，1)
(1)求a，k的值;
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象直接回答y1>y2時x的取值范圍. 24.(12分)(2016•南平)已知，拋物線y=ax2(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4，4)，
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1，拋物線上存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)：______.
(3)如圖2，直線l經(jīng)過點(diǎn)C(0，﹣1)，且平行與x軸，若點(diǎn)D為拋物線上任意一點(diǎn)(原點(diǎn)O除外)，直線DO交l于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥l，交拋物線于點(diǎn)F，求證：直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G(0，1).
25.(14分)(2016•南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上一定點(diǎn)(其中EP
(1)如圖1，若點(diǎn)F在CD邊上(不與D重合)，將∠DPF繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點(diǎn)H、G.
�、偾笞C：PG=PF; ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
(2)拓展：如圖2，若點(diǎn)F在CD的延長線上(不與D重合)，過點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線DA于點(diǎn)G，你認(rèn)為(1)中DE、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，給出證明;若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.
2016年福建省南平市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題(共10小題，每小題4分，滿分40分)
1.(4分)(2016•南平)﹣3的倒數(shù)是( )
A.3 B.﹣3 C. D. 【考點(diǎn)】倒數(shù).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】常規(guī)題型.
【分析】直接根據(jù)倒數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.
【解答】解：∵(﹣3)×(﹣ )=1，
∴﹣3的倒數(shù)是﹣ .
故選：D.
【點(diǎn)評】本題考查的是倒數(shù)的定義，即乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).
2.(4分)(2016•南平)如圖所示的幾何體的左視圖是( )
A. B. C. D. 【考點(diǎn)】簡單幾何體的三視圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】左視圖是從物體左面看，所得到的圖形.
【解答】解：從左面看可得到一個三角形.
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在三視圖中.
3.(4分)(2016•南平)如圖，直線a∥b，直線c與a、b分別交于A、B兩點(diǎn)，若∠1=46°，則∠2=( )
A.44° B.46° C.134° D.54°
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由對頂角的定義即可得出結(jié)論.
【解答】解：如圖所示：
∵直線a∥b，∠1=46°，
∴∠1=∠3=46°.
∵∠2與∠3是對頂角，
∴∠2=∠3=46°.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同位角相等是解決問題的關(guān)鍵.
4.(4分)(2016•南平)下列事件是必然事件的是( )
A.某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎
B.一組數(shù)據(jù)1，2，4，5的平均數(shù)是4
C.三角形的內(nèi)角和等于180°
D.若a是實(shí)數(shù)，則|a|>0
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，即發(fā)生的概率是1的事件.據(jù)此判斷即可解答.
【解答】解：A、某種彩票中獎率是1%，則買這種彩票100張一定會中獎為隨機(jī)事件，不符合題意;
B、一組數(shù)據(jù)1，2，4，5的平均數(shù)是4是不可能事件，不符合題意;
C、三角形的內(nèi)角和等于180°為必然事件，符合題意;
D、若a是實(shí)數(shù)，則|a|>0為事件事件，不符合題意.
故選C.
【點(diǎn)評】本題主要考查必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，理解概念是解決基礎(chǔ)題的主要方法.
用到的知識點(diǎn)為：必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件;不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
5.(4分)(2016•南平)2016年歐洲杯足球賽中，某國家足球隊(duì)首發(fā)上場的11名隊(duì)員身高如表：
| 身高（cm） | 176 | 178 | 180 | 182 | 186 | 188 | 192 |
| 人數(shù) | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
A.180，182 B.180，180 C.182，182 D.3，2
【考點(diǎn)】眾數(shù);中位數(shù).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】依據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義求解即可.
【解答】解：∵180出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴眾數(shù)是180.
將這組數(shù)據(jù)按照由大到小的順序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、186、188、192.
所以眾數(shù)為180.
故選：B.
【點(diǎn)評】本題主要考查的是眾數(shù)和中位數(shù)的定義，掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
6.(4分)(2016•南平)若正六邊形的半徑長為4，則它的邊長等于( )
A.4 B.2 C.2 D.4 【考點(diǎn)】正多邊形和圓.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形，即可求解.
【解答】解：正六邊形的中心角為360°÷6=60°，那么外接圓的半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形，
故正六邊形的半徑等于4，則正六邊形的邊長是4.
故選：A.
【點(diǎn)評】此題主要考查了正多邊形和圓，利用正六邊形的外接圓半徑和正六邊形的邊長將組成一個等邊三角形得出是解題關(guān)鍵.
7.(4分)(2016•南平)下列運(yùn)算正確的是( )
A.3x+2y=5xy B.(m2)3=m5 C.(a+1)(a﹣1)=a2﹣1 D. =2
【考點(diǎn)】平方差公式;合并同類項(xiàng);冪的乘方與積的乘方;約分.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)同類項(xiàng)、冪的乘方、平方差公式以及約分的知識進(jìn)行判斷即可.
【解答】解：A、3x+2y≠5xy，此選項(xiàng)錯誤;
B、(m2)3=m6，此選項(xiàng)錯誤;
C、(a+1)(a﹣1)=a2﹣1，此選項(xiàng)正確;
D、 ≠2，此選項(xiàng)錯誤;
故選C.
【點(diǎn)評】本題主要考查了平方差公式、合并同類項(xiàng)、冪的乘方以及約分等知識，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則.
8.(4分)(2016•南平)下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是( )
A.x2﹣2x﹣3=0 B.x2﹣x+1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2=1
【考點(diǎn)】根的判別式.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】分別找出一元二次方程中的二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b、常數(shù)項(xiàng)c，再利用一元二次方程根的判別式(△=b2﹣4ac)判斷方程的根的情況.
【解答】解：A、a=1，b=﹣2，c=﹣3，b2﹣4ac=4+12=16>0，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯誤;
B、a=1，b=﹣1，c=1，b2﹣4ac=1﹣4=﹣3<0，沒有實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)正確;
C、a=1，b=2，c=1，b2﹣4ac=4﹣4=0，有兩個相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯誤;
D、a=1，b=0，c=﹣1，b2﹣4ac=4>0，有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)錯誤;
故選：B.
【點(diǎn)評】此題主要考查了根的判別式，關(guān)鍵是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△>0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根;
�、诋�(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根;
③當(dāng)△<0時，方程無實(shí)數(shù)根.
9.(4分)(2016•南平)閩北某村原有林地120公頃，旱地60公頃，為適應(yīng)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，需把一部分旱地改造為林地，改造后，旱地面積占林地面積的20%，設(shè)把x公頃旱地改造為林地，則可列方程為( )
A.60﹣x=20%(120+x) B.60+x=20%×120
C.180﹣x=20%(60+x) D.60﹣x=20%×120
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元一次方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】設(shè)把x公頃旱地改為林地，根據(jù)旱地面積占林地面積的20%列出方程即可.
【解答】解：設(shè)把x公頃旱地改為林地，根據(jù)題意可得方程：60﹣x=20%(120+x).
故選：A.
【點(diǎn)評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)以以改造后的旱地與林地的關(guān)系為等量關(guān)系列出方程.
10.(4分)(2016•南平)如圖，已知直線l：y=2x，分別過x軸上的點(diǎn)A1(1，0)、A2(2，0)、…、An(n，0)，作垂直于x軸的直線交l于點(diǎn)B1、B2、…、Bn，將△OA1B1，四邊形A1A2B2B1、…、四邊形An﹣1AnBnBn﹣1的面積依次記為S1、S2、…、Sn，則Sn=( )
A.n2 B.2n+1 C.2n D.2n﹣1
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】規(guī)律型.
【分析】根據(jù)直線l的解析式以及三角形的面積可以找出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“Sn=2n﹣1”，此題得解.
【解答】解：觀察，得出規(guī)律：S1= OA1•A1B1=1，S2= OA2•A2B2﹣ OA1•A1B1=3，S3= OA3•A3B3﹣ OA2•A2B2=5，S4= OA4•A4B4﹣ OA3•A3B3=7，…，
∴Sn=2n﹣1.
故選D.
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及規(guī)律型中的數(shù)的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“Sn=2n﹣1”.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積找出部分Sn的值，再根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵.
二、填空題(共6小題，每小題4分，滿分24分)
11.(4分)(2016•南平)甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次，他們成績的平均數(shù)相同，方差分別是s =0.2，s =0.5，則設(shè)兩人中成績更穩(wěn)定的是 甲 (填“甲”或“乙”)
【考點(diǎn)】方差;算術(shù)平均數(shù).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】由方差反映了一組數(shù)據(jù)的波動情況，方差越小，則數(shù)據(jù)的波動越小，成績越穩(wěn)定可以作出判斷.
【解答】解：∵S甲2=0.2，S乙2=0.5，
則S甲2
可見較穩(wěn)定的是甲.
故答案為：甲.
【點(diǎn)評】本題考查方差的意義.方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定;反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定.
12.(4分)(2016•南平)計(jì)算：(2 )2= 28 .
【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】直接利用二次根式乘法運(yùn)算法則求出答案.
【解答】解：原式=22×( )2=28.
故答案為：28.
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.
13.(4分)(2016•南平)分解因式：mn2+2mn+m= m(n+1)2 .
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】首先提取公因式m，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式得出答案.
【解答】解：mn2+2mn+m
=m(n2+2n+1)
=m(n+1)2.
故答案為：m(n+1)2.
【點(diǎn)評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵.
14.(4分)(2016•南平)寫出一個y關(guān)于x的二次函數(shù)的解析式，且它的圖象的頂點(diǎn)在y軸上： y=x2(答案不唯一) .
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】開放型.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在y軸上，則b=0，進(jìn)而得出答案.
【解答】解：由題意可得：y=x2(答案不唯一).
故答案為：y=x2(答案不唯一).
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出b的值是解題關(guān)鍵.
15.(4分)(2016•南平)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為AB、CD上的點(diǎn)，且AE=CF= AB，點(diǎn)O為線段EF的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線與正方形的一組對邊分別交于P、Q兩點(diǎn)，并且滿足PQ=EF，則這樣的直線PQ(不同于EF)有 3 條.
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】能畫3條：①與EF互相垂直且垂足為O，構(gòu)建直角三角形，可以證明兩直角三角形全等得EF=PQ;
�、谠贏D上截取AP= AD，連接PO延長得到PQ;
�、弁碓贏B了截取BQ= AB，連接QO并延長得到PQ.
【解答】解：這樣的直線PQ(不同于EF)有3條，
�、偃鐖D1，過O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，
則PQ=EF;
�、谌鐖D2，以點(diǎn)A為圓心，以AE為半徑畫弧，交AD于P，連接PO并延長交BC于Q，則PQ=EF;
③如圖3，以B為圓心，以AE為半徑畫弧，交AB于Q，連接QO并延長交DC于點(diǎn)P，則PQ=EF.
【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)與判定，本題雖然是做一條線段與EF相等，實(shí)際上是做好兩件事：①畫線段PQ，②能證明這兩條線段相等，這比證明更為復(fù)雜，因此首先要構(gòu)建直角三角形全等，找到與EF相等的邊長的位置，本題的線段不止一條，容易丟解，要思考周全.
16.(4分)(2016•南平)如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(不與A、B重合)，將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結(jié)論：
①CD=CP=CQ;
�、�∠PCQ的大小不變;
�、邸鱌CQ面積的最小值為 ;
④當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)時，△PDQ是等邊三角形，
其中所有正確結(jié)論的序號是�、佗冖堋�.
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】①由折疊直接得到結(jié)論;
�、谟烧郫B的性質(zhì)求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意義求出∠PCQ=120°;
�、巯茸鞒觥鱌CQ的邊PC上的高，用三角函數(shù)求出QE= CQ，得到S△PCQ= CD2，判斷出△PCQ面積最小時，點(diǎn)D的位置，求出最小的CD=CF，即可;
�、芟扰袛喑觥鰽PD是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ=60°，即可.
【解答】解：①∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴CP=CD=CQ，
∴①正確;
�、凇邔ⅰ鰿AD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，
∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，
∴∠PCQ=360°﹣(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°﹣(120°+120°)=120°，
∴∠PCQ的大小不變;
∴②正確;
�、廴鐖D，
過點(diǎn)Q作QE⊥PC交PC延長線于E，
∵∠PCQ=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△QCE中，sin∠QCE= ，
∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°= CQ，
∵CP=CD=CQ
∴S△PCQ= CP×QE= CP× CQ= CD2，
∴CD最短時，S△PCQ最小，
即：CD⊥AB時，CD最短，
過點(diǎn)C作CF⊥AB，此時CF就是最短的CD，
∵AC=BC=4，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴CF= BC=2，
即：CD最短為2，
∴S△PCQ最小= CD2= ×22= ，
∴③錯誤，
�、堋邔ⅰ鰿AD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，
∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，
∵∠DAC=30°，
∴∠APD=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴PD=AD，∠ADP=60°，
同理：△BDQ是等邊三角形，
∴DQ=BD，∠BDQ=60°，
∴∠PDQ=60°，
∵當(dāng)點(diǎn)D在AB的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴PD=DQ，
∴△DPQ是等邊三角形.
∴④正確，
故答案為：①②④.
【點(diǎn)評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，銳角三角函數(shù)，極值的確定，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是判斷出∠PCQ=120°是個定值;(其實(shí)這個題目中還有∠PDQ=60°也是定值)，解本題的難點(diǎn)是確定出△PCQ面積最小時，點(diǎn)D的位置.
三、解答題(共9小題，滿分86分)
17.(8分)(2016•南平)計(jì)算：(2π)0+|﹣6|﹣ .
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;零指數(shù)冪.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】首先計(jì)算零次冪、絕對值、開立方，然后計(jì)算有理數(shù)的加減即可.
【解答】解：原式=1+6﹣2=5.
【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握零指數(shù)冪、開方、絕對值等考點(diǎn)的運(yùn)算.
18.(8分)(2016•南平)解分式方程： = .
【考點(diǎn)】解分式方程.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】先去分母，再解一元一次方程即可.
【解答】解：去分母得，3(1+x)=4x，
去括號得，3+3x=4x，
移項(xiàng)、合并得，x=3，
檢驗(yàn)：把x=3代入x(x+1)=3×4=12≠0，
∴x=3是原方程的解.
【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，解分式方程一定要驗(yàn)根.
19.(8分)(2016•南平)解不等式組： .
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可.
【解答】解：由①得，x<3，由②得，x>1，
故不等式組的解集為：1
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
20.(8分)(2016•南平)國務(wù)院辦公廳在2015年3月16日發(fā)布了《中國足球發(fā)展改革總統(tǒng)方案》，一年過去了，為了了解足球知識的普及情況，某校舉行“足球在身邊”的專題調(diào)查活動，采取隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果劃分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個等級，并將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖)，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：
(1)被調(diào)查的學(xué)生共有 300 人.
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數(shù)為 108 度;
(3)從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率的是多少?
【考點(diǎn)】概率公式;扇形統(tǒng)計(jì)圖;條形統(tǒng)計(jì)圖.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】統(tǒng)計(jì)與概率.
【分析】(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得本次調(diào)查的人數(shù);
(2)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數(shù);
(3)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以求得從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率.
【解答】解：(1)由題意可得，
被調(diào)查的學(xué)生有：60÷20%=300(人)，
故答案為：300;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示“比較了解”的扇形的圓心角度數(shù)為：360°× =108°，
故答案為：108;
(3)由題意可得，
從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率是： =0.4，
即從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，抽中的學(xué)生對足球知識是“基本了解”的概率是0.4.
【點(diǎn)評】本題考查概率公式、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.
21.(8分)(2016•南平)如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一點(diǎn)，BD=8，DE⊥AB，垂足為E，求線段DE的長.
【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案.
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
又∠C=90°，
∴∠BED=∠C.
又∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴ = ，
∴DE= = =4
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)得出 = 是解題關(guān)鍵.
22.(10分)(2016•南平)如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
(1)求證：OC=AD;
(2)若∠P=50°，⊙O的半徑為4，求四邊形AOCD的周長(精確到0.1)
【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】(1)只要證明四邊形OADC是矩形即可.
(2)在RT△OBC中，根據(jù)sin∠BCO= ，求出OC即可解決問題.
【解答】(1)證明：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，
∴OA⊥PA，即∠OAD=90°，
∵OC∥AP，
∴∠COA=180°﹣∠OAD=180°﹣90°=90°，
∵CD∥PA，
∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°，
∴四邊形AOCD是矩形，
∴OC=AD.
(2)解：∵PB切⊙O于等B，
∴∠OBP=90°，
∵OC∥AP，
∴∠BCO=∠P=50°，
在RT△OBC中，sin∠BCO= ，OB=4，
∴OC= ≈5.22，
∴矩形OADC的周長為2(OA+OC)=2×(4+5.22)=18.4.
【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型.
23.(10分)(2016•南平)已知正比例函數(shù)y1=ax(a≠0)與反比例函數(shù)y2= (k≠0)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A(2，1)
(1)求a，k的值;
(2)在直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象直接回答y1>y2時x的取值范圍.
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】(1)將A坐標(biāo)代入雙曲線解析式中，求出k的值，確定出反比例函數(shù)解析式，將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，求出a的值，確定出一次函數(shù)解析式;
(2)畫出兩函數(shù)圖象，由函數(shù)圖象，即可得到y(tǒng)1>y2時x的取值范圍.
【解答】解：(1)將A(2，1)代入正比例函數(shù)解析式得：1=2a，即a= ，
故y1= x;
將A(2，1)代入雙曲線解析式得：1= ，即k=2，
故y2= ;
(2)如圖所示：
由圖象可得：當(dāng)y1>y2時，﹣22.
【點(diǎn)評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法.
24.(12分)(2016•南平)已知，拋物線y=ax2(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4，4)，
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1，拋物線上存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)： B(﹣4，4)或(﹣8，16) .
(3)如圖2，直線l經(jīng)過點(diǎn)C(0，﹣1)，且平行與x軸，若點(diǎn)D為拋物線上任意一點(diǎn)(原點(diǎn)O除外)，直線DO交l于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥l，交拋物線于點(diǎn)F，求證：直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G(0，1).
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，
(2)分兩種情況，先確定出直線OB或AB，和拋物線解析式聯(lián)立確定出點(diǎn)B的解析式;
(3)先設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)，確定出點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線DF解析式，將點(diǎn)G坐標(biāo)代入直線DF看是否滿足解析式.
【解答】解：(1)∵拋物線y=ax2(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(4，4)，
∴16a=4，
∴a= ，
∴拋物線的解析式為y= x2，
(2)存在點(diǎn)B，使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形，
理由：如圖1，
∵使得△AOB是以AO為直角邊的直角三角形
∴直角頂點(diǎn)是點(diǎn)O，或點(diǎn)A，
�、佼�(dāng)直角頂點(diǎn)是點(diǎn)O時，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，
∵點(diǎn)A(4，4)，
∴直線OA解析式為y=x，
∴直線OB解析式為y=﹣x，
∵ ，
∴ (舍)或 ，
∴B(﹣4，4)，
�、诋�(dāng)直角頂點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OA，
由①有，直線OA的解析式為y=x，
∵A(4，4)，
∴直線AB解析式為y=﹣x+8，
∵ ，
(舍)或 ，
∴B(﹣8，16)，
∴滿足條件的點(diǎn)B(﹣4，4)或(﹣8，16);
故答案為B(﹣4，4)或(﹣8，16);
(3)證明：設(shè)點(diǎn)D(m， m2)，
∴直線DO解析式為y= x，
∵l∥x軸，C(0，﹣1)，
令y=﹣1，則x=﹣ ，
∴直線DO與l交于E(﹣ ，﹣1)，
∵EF⊥l，l∥x軸，
∴F橫坐標(biāo)為﹣ ，
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴F(﹣ ， )
設(shè)直線DF解析式為y=kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直線DF解析式為y= x+1，
∴點(diǎn)G(0，1)滿足直線DF解析式，
∴直線DF一定經(jīng)過點(diǎn)G.
【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，直角三角形的性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在直線上，解本題的關(guān)鍵是確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，確定出直線DF的解析式是解本題的難點(diǎn).
25.(14分)(2016•南平)已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上一定點(diǎn)(其中EP
(1)如圖1，若點(diǎn)F在CD邊上(不與D重合)，將∠DPF繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點(diǎn)H、G.
①求證：PG=PF; ②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
(2)拓展：如圖2，若點(diǎn)F在CD的延長線上(不與D重合)，過點(diǎn)P作PG⊥PF，交射線DA于點(diǎn)G，你認(rèn)為(1)中DE、DG、DP之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，給出證明;若不成立，請寫出它們所滿足的數(shù)量關(guān)系式，并說明理由.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】(1)①若證PG=PF，可證△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋轉(zhuǎn)可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD為等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得證;
�、谟伞鱄PD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD= DP，HG=DF，根據(jù)DG+DF=DG+GH=DH即可得;
(2)過點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H，先證△HPD為等腰直角三角形可得PH=PD，HD= DP，再證△HPG≌△DPF可得HG=DF，根據(jù)DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF= DP.
【解答】解：(1)①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵ ，
∴△HPG≌△DPF(ASA)，
∴PG=PF;
�、诮Y(jié)論：DG+DF= DP，
由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD= DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF= DP;
(2)不成立，數(shù)量關(guān)系式應(yīng)為：DG﹣DF= DP，
如圖，過點(diǎn)P作PH⊥PD交射線DA于點(diǎn)H，
∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD= DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵ ∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，
∴DG﹣DF= DP.
【點(diǎn)評】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，靈活運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)將待求證線段關(guān)系轉(zhuǎn)移至其他兩線段間關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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